ex-ax与ax-lnx具有相同最小值

函数图像及极值性质

已知函数$f(x)=e^x-ax$，$g(x)=ax-lnx$，要证明$f(x)$与$g(x)$具有相同的最小值，需要先分别研究两个函数的图像及其极值性质。

对于$f(x)$，当$x$趋近于负无穷时，$e^x$趋近于$0$，$ax$趋近于负无穷，所以$f(x)$趋近于正无穷。当$x$趋近于正无穷时，$e^x$趋近于正无穷，$ax$趋近于正无穷，所以$f(x)$趋近于正无穷。因此$f(x)$在竖直方向上无穷大有限制，图像可以看作从第二象限的负无穷趋近于$x$轴正向。

当$f'(x)=e^x-a$，$f''(x)=e^x$时，当$x=\\ln a$时，$f'(x)=0$，所以$f(x)$在$x=\\ln a$处取得最小值，最小值为$f(\\ln a)=a-a\\ln a$。因此$f(x)$的最小值在第一象限和第三象限并不存在。

对于$g(x)$，当$x$趋近于$0^+$时，$ax$趋近于$0$，$-\\ln x$趋近于正无穷，所以$g(x)$趋近于正无穷。当$x$趋近于正无穷时，$ax$趋近于正无穷，$-\\ln x$趋近于负无穷，所以$g(x)$趋近于负无穷。因此$g(x)$在竖直方向上的取值范围是正负无穷间的一个区间，图像可以看作从第一象限趋近于$x$轴。

当$g'(x)=a-\\frac{1}{x}$，$g''(x)=\\frac{1}{x^2}$时，当$x=a$时，$g'(x)=0$，所以$g(x)$在$x=a$处取得最小值，最小值为$g(a)=a-a\\ln a$。因此$g(x)$的最小值在第二象限和第四象限并不存在。

证明$f(x)$和$g(x)$具有相同最小值

由于$f(x)$和$g(x)$的最小值均为$a-a\\ln a$，因此只需证明$f(x)$和$g(x)$在$x=\\ln a$处的函数值相等即可。

当$x=\\ln a$时，$f(x)=e^{\\ln a}-a\\ln a=a-a\\ln a$。$g(x)=a-\\ln x|_{x=\\ln a}=a-\\ln (\\ln a)$。因此$f(x)$和$g(x)$在$x=\\ln a$处的函数值相等，即它们具有相同的最小值。

结论

综上所述，已知函数$f(x)=e^x-ax$，$g(x)=ax-lnx$具有相同的最小值$a-a\\ln a$。