康托尔集的外测度为零

什么是康托尔集

在数学中，康托尔集是指实数区间的无理数部分的集合。具体来说，将$[0,1]$这个区间三等分，去掉中间部分，得到两个子区间，即$[0,\\frac{1}{3}]$和$[\\frac{2}{3},1]$。然后再对每个子区间重复上述操作，不断得到越来越多的子区间，并将它们的交集作为最终的集合，即康托尔集。

什么是外测度

测度论是数学中的一个分支，主要研究集合的大小或重量。外测度是其中的一个概念，它衡量一个集合在某个度量下的大小。通俗来说，就是用一种方法来计算一个集合的长度、面积或体积。

外测度为什么为零

康托尔集的外测度为零，这个结论理解起来并不容易。但是我们可以采用类似于划分求和的思维来证明它。我们可以借助构造康托尔集的方法，将其划分为若干个子区间。

假设康托尔集被划分为$n$个区间，每个区间的长度为$l_1,l_2,...,l_n$。由于康托尔集是一个紧集（闭合有界集合），因此可以将其完全覆盖的最小区间长度记为$\\epsilon$。那么对于每个区间，我们可以选择一个包含它的开区间，并将这些开区间组成一个集合。

我们发现，这些开区间的长度之和为$\\sum_{i=1}^n (l_i+2\\epsilon)$，其中$l_i$表示康托尔集上第$i$个区间的长度。因此，我们可以得到以下不等式：

$$\\sum_{i=1}^n (l_i+2\\epsilon)\\geq m^*(C_k)+\\epsilon 2^n$$

其中$m^*(C_k)$表示康托尔集的外测度。因为$\\epsilon$可以任意小，所以我们可以使上式右侧尽可能接近$m^*(C_k)$，即：

$$m^*(C_k)\\leq \\sum_{i=1}^n l_i$$

由于$n$是任意大的，我们可以通过让$n$趋近无穷来使右侧近似于康托尔集的长度。因此，康托尔集的外测度为零。

总结来说，康托尔集的外测度为零的原因是因为康托尔集本身具有非常多的局部结构，因此我们可以用有限的覆盖来近似其长度，并且这种划分趋近于无穷时，覆盖长度也趋近于康托尔集的长度。