三回九转 打一数字

第一回：穿越清明节

在某个清明节，小明用手中的棍子在路边画了一个圆，圆的周长是20米。然后他把棍子放弃不用，取一个细绳准备测出圆的面积。请问，这个圆的面积是什么数字？

第二回：会心一击

小华一口气写了100个数字，其中10个是1，10个是2，10个是3，以此类推，一直到10个是9，10个是0。请问，这100个数字中有多少个“3”？

第三回：逆袭

小张在参加一个数学竞赛，他面对一道难题。试算出：$\\frac{200!}{199!+198!+197!}$ 的最后两位数是什么？ 答案：22 解析：

第一回

周长为20米的圆，设半径为r，则$2\\pi r=20$，解得$r=10/\\pi$，面积为$\\pi r^2=(10/\\pi)^2\\pi=100/\\pi$，约为31.83，因此答案为31。

第二回

10个1中有1个“3”；10个2中有1个“3”；......；10个9中有1个“3”；10个0中没有“3”。因此，总共有9个“3”，答案为9。

第三回

通过试算，我们发现，除以199!后余数为1，除以198!后余数也为1，除以197!后余数为0（因为200!=199!*200）。根据中国剩余定理，我们可以得到：$\\frac{200!}{199!+198!+197!}\\equiv1\\pmod{199\\cdot198}$，因此我们只需要计算$\\frac{200!}{199!+198!+197!}\\pmod{199\\cdot198}$即可。利用逆元和欧拉定理，我们可以得到：$\\varphi(199\\cdot198)=19602$，$10^{19602}\\equiv1\\pmod{199\\cdot198}$。因此，我们只需要计算$200!\imes10^{-3}\\pmod{199\\cdot198}$，即可得到答案。根据欧拉定理可得：$10^{-3}\\equiv19602\\pmod{199\\cdot198}$，因此我们只需要计算$200!\imes19602\\pmod{199\\cdot198}$，即可得到最后两位数。在计算过程中，我们可以利用质因数分解的方法，将199和198分解为质因数，然后分别计算阶乘的余数，最后再使用中国剩余定理组合得到最终的余数。通过计算可得，最后两位数为22。